他社が立て替えた費用を精算する際は、請求元の登録番号を把握しておく必要がありますが、経費BANKではどのように処理をすればよいのでしょうか？

事業者間の立替払いの場合、仕入税額控除を受けるためには、立替払いを行った事業者宛の適格請求書と立替払いを行った事業者が作成する立替金精算書を受領し、保管する必要があります。
そのため、該当の証憑を経費BANKにアップロードして保管することで、仕入税額控除を受けることができるものと考えております。
詳しくは税理士や管轄の税務署等へご確認ください。